河南省中原名校2013届高三下期第一次联考理科数学试卷.doc

理科数学试题参考答案 选择题： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10[] 11 12 B A A B C A D C B C A B 二．填空题： 【13】 72 【14】 ±1 【15】 3 【16】 ①③ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （17）（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）当时，.………………………………………1分 当时，.…………………………………………………3分 因为是等比数列，所以，即，.…………5分 所以数列的通项公式为.…………………………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得. 则. ① . ② ①-②得 …………………9分 .…………………………………………………12分 所以.……………………………………………………………13分 18.（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）由题意可知，． ………………4分 （Ⅱ）由题意可知，第4组有4人，第5组有2人，共6人． 所以的可能取值为，则 ………………………………………6分 ，，． 所以，的分布列为 …………………………10分 [] 所以，． ……………………………………12分[] 19.（本小题满分12分） （Ⅰ）证明：连接与相交于点，连结． 因为四边形为正方形，所以为中点． 因为 为棱中点．所以 ．……2分 因为 平面，平面， 所以直线//平面． ………………3分 （Ⅱ）证明：因为平面，所以． ………………4分 因为四边形为正方形，所以， 所以平面． ………………5分 所以平面平面． ………………6分 （Ⅲ）解法一：在平面内过作直线． 因为平面平面，所以平面． 由两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系．…………7分 设，则． 所以，． [] 设平面的法向量为，则有 所以 取，得． ………………9分 易知平面的法向量为． ………………10分 所以． ………………11分 由图可知二面角是钝角 所以二面角的余弦值为． 12分 解法二：取中点，中点，连结，． 因为为正方形，所以． 由（Ⅱ）可得平面． 因为，所以． 由两两垂直，建立如图所示 的空间直角坐标系． ………………9分 设，则． 所以，． 设平面的法向量为，则有 所以 取，得． ………………9分 易知平面的法向量为． ………………10分 所以． ………………11分 由图可知二面角是钝角 所以二面角的余弦值为． 12分 20.（本小题满分12分） 解.（Ⅰ）由椭圆定义可知，点的轨迹C是以，为焦点，长半轴长为 的椭圆．……………………………………………………………………………3分 的方程为． …………………………………………………5分 面积的最大值. …………………………………………………6分过点，可设直线的方程为 或（舍）． 则 整理得 ．…………………7分．设． 解得 ， ．则 ． 因为． ………………………10分 ，，．则在区间上为增函数． 所以．所以，当且仅当时取等号，即． 所以的最大值为．………………………………………………………………12分1）依题意得解之得……4分 （2） 当x＞0时 当x＜0时∴)在上递减在上递增 ∴＝f (0) ＝1 ……8分 （3）由（2）得 恒成立，令a＝e， 则 　在中令x＝－（k＝1，2，…n-1）　∴1－≤　∴ 　∴（1－）n≤e－1 （1－）n≤e－2 …（1－）n≤e－(n－1)，（）n＝1 ∴（）n＋（）n＋（）n＋…＋（）n≤1＋e－1＋e－2＋…＋e－(n