Banach空间及其相关定理.docx

课程论文 课 程 现代分析基础 学生姓名 学 号 院 系 专 业 指导教师 二Ｏ一五年 十二月 四日 目 录 TOC \o 1-3 \h \z \u 1 绪论 1 2 Banach空间基本概念 1 2.1拟范数定义及例子 1 2.2 Banach空间 2 2.3 Banach空间中线性变换及其性质 3 3 一致有界定理及其推论 4 3.1问题 4 3.2基本概念 4 3.3一致有界定理及其推论 5 3.4一致有界性定理及其推论的应用 6 4 Hahn-Banach定理与凸集分离定理 7 4.1实线性空间上的Hahn-Banach定理 7 4.2复线性空间上的Hahn-Banach定理 8 4.3赋范线性空间上的Hahn-Banach定理 8 4.4有关Hahn-Banach定理的一些推论 9 4.5 Hahn-Banach定理的几何形式：凸集分离定理 9 5 Banach空间中开映射、闭图像定理以及逆算子定理 9 5.1开映射定理 9 5.2逆算子定理 11 5.3闭图像定理 12 6 总结 14 参考文献 15 Banach空间及其相关定理 南京理工大学自动化学院，江苏 南京 摘要：本文的主要是介绍了Banach空间以及其相关定理。首先，本文讲了Banach空间产生的背景以及应用领域。然后本文介绍了Banach空间的基本概念及其相关性质。最后本文开始从一致有界定理开始，将Banach空间中Hahn-Banach定理、开映射、闭图像以及逆算子定理这几个重要定理逐一做出介绍并给出相应定理的证明。 关键词： Banach空间；一致有界定理；Hahn-Banach定理；开映射、闭图像、逆算子定理 PAGE 15 1 绪论 巴拿赫空间（Banach space）是一种赋有“长度”的线性空间，泛函分析研究的基本对象之一。数学分析各个分支的发展为巴拿赫空间理论的诞生提供了许多丰富而生动的素材。从魏尔斯特拉斯，K.(T.W.)以来，人们久已十分关心闭区间[a，b]上的连续函数以及它们的一致收敛性。甚至在19世纪末，G.阿斯科利就得到[a，b]上一族连续函数之列紧性的判断准则，后来十分成功地用于常微分方程和复变函数论中。1909年里斯，F.(F.)给出[0，1]上连续线性泛函的表达式，这是分析学历史上的重大事件。还有一个极重要的空间，那就是由所有在[0，1]上次可勒贝格求和的函数构成的空间。在1910～1917年，人们研究它的种种初等性质；其上连续线性泛函的表示，则照亮了通往对偶理论的道路。人们还把弗雷德霍姆积分方程理论推广到这种空间，并且引进全连续算子的概念。当然还该想到希尔伯特空间。正是基于这些具体的、生动的素材，巴拿赫，S.与维纳，N.相互独立地在1922年提出当今所谓巴拿赫空间的概念，并且在不到10年的时间内便发展成一部本身相当完美而又有着多方面应用的理论[1]。由于其在数学和其他学科中的广泛运用，在20世纪30年代就得到了很大的发展，并很快成为一门独立的学科[2]。Banach空间理论还是泛函分析的主要组成部分，是泛函分析涵盖的其他三个主要研究方向：算子理论，应用泛函分析以及Banach代数的理论基础，影响着他们的发展[3]。20世纪60年代以后，不仅Banach空间理论本身有了深入的发展，更值得注意的是它在量子力学，物理学等许多领域都获得了广泛的应用，已经成为自然科学与工程技术理论不可缺少的重要研究工具。 接下来本文将用四章的内容对Banach空间以及Banach空间中的相关定理做一个介绍。本文从第二章的Banach空间的概念开始讲起，逐步引出Banach空间中的相关定理，这其中包括一致有界性定理、Hahn-Banach定理、开映射、闭图像定理以及逆算子定理。泛函科学体系的建立正是得益于20世纪初Banach空间这几个定理的提出。 2 Banach空间基本概念 在探讨Banach空间之前，本文先用一些定义来解释一下Banach空间并就相关的基本概念做一个介绍。 2.1 拟范数定义及例子 定义2.1.1 线性空间：设X为一个线性空间，则在X中对加法满足： (1)x+y=y+x （交换律） (2)(x+y)+z=x+(y+z) （结合律） (3)存在零元θ，使θ+x=x (4)存在逆元x`使得x`+x=θ，x`记为-