动态几何问题思考策略及解题方法.doc

动态几何问题思考策略与解题方法 重庆市渝中区第57中刘晓丰 以运动的观点探究几何图形部分规律的问题，称之为动态几何问题.动态几何问题充分 体现了数学中的“变”与“不变”， 一、动态几何问题涉及的几种情况 动态几何问题就其运动对象而言，有点动有单动点型多动点型线动主要有线平移型旋转型线动实质就是点动，即点动带动线动，进而还会产生动，因而线动型几何问题可以通过转化成点动型问题来求解.动就其运动形式而言，有平移、旋转、翻折、滚动解决,解答时要特别注意以下七点: 1、把握运动变化的形式及过程； 2、思考运动初始状态时几何元素的关系，以及可求出的几何量； 3、动中取静：（最重要的一点） 要善于在“动”中取“静”（让图形和各个几何量都“静”下来），抓住变化中的“不变量”和不变关系为“向导”，求出相关的常量或者以含有变量的代数式表示相关的几何量; 4、找等量关系：利用面积关系、相似三角形的性质、勾股定理、特殊图形等的几何性质及相互关系，找出基本的等量关系式; 5、列方程：将相关的常量和含有变量的代数式代入等量关系建立方程或函数模型； (某些几何元素的变化会带来其它几何量的变化，所以在求变量之间的关系时，通常建立函数模型或不等式模型求解。在解决有关特殊点、特殊值、特殊位置关系问题时常结合图形建立方程模型求解) 6、是否分类讨论： 将变化的几何元素按题目指定的运动路径运动一遍，从动态的角度去分析观察可能出现的情况， 7、确定变化分界点： 若需分类讨论，要以运动到达的特殊点为分界点，画出与之对应情况相吻合的图形，找到情况发生改变的时刻，确定变化的范围分类求解。 例：如图，有一边长为5cm的正方形ABCD和等腰三角形△RQR，PQ=PR=5cm，QR=8cm，点B、C、Q、R在同一条直线ι上，当C、Q两点重合时开始，t秒后正方形ABCD与等腰△PQR重合部分的面积为Scm. .解答下列问题：（1）当t=3秒时，求S的值； （2）当t=5秒时，求S的值； （3）当5秒≤t≤8秒时，求S与t的函数关系式，并求出S的最大值. 分析：当等腰△PQR从C、Q两点重合开始，以1cm/秒的速度沿直线ι向左匀速运动时，正方形ABCD与等腰△PQR重合部分图形的形状在改变，因此，我们需要根据运动过程中的特殊位置分类讨论解决。运动过程中有四个特殊位置点,它们分别是点B、C、R和等腰△PQR底边的中点E,这四个特殊位置点就是分类讨论问题的“分界点”. 因为正方形ABCD的边长为5cm，等腰三角形△RQR的底边QR=8cm， （1）所以当t≤4秒时，QE逐渐地与与BC完全重合，则S是△QCG的面积， 所以，当t=3秒时，，S是△QCG的面积（如图一的“静态”）； （2）当4秒≤t≤5秒时，即在点E落在线段上到点Q与点B重合，S是四边形QCGP的面积（如图二的“静态”）； （3）当5秒≤t≤8秒时，点Q、R都在线段BC外，点E在BC上，S是一个五边形BCGPH的面积（如图三的“静态”）. 即1、运动规律；2、思考初始；3、动中取静；4、找等量关系; 5、列方程；6、是否分类讨论：7、确定分界点。 典型例题 （2006重庆）如图1所示，一张三角形纸片ABC，∠ACB=90°,AC=8,BC=6.沿斜边AB的中线CD把这张纸片剪成和两个三角形（如图2所示）.将纸片沿直线（AB）始终在同一直线上），当点于点B重合时，停止平移.在平移过程中，与交于点E,与分别交于点F、P. 当平移到如图3所示的位置时，猜想图中的与的数量关系，并证明你的猜想； 设平移距离为，与重叠部分面积为，请写出与的函数关系式，以及自变量的取值范围； （3）对于（2）中的结论是否存在这样的的值，使重叠部分的面积等于原面积的. 若存在，求x的值；若不存在，请说明理由. 分析：1、把握运动变化的形式及过程： 题目条件：将沿直线（AB）始终在同一直线上），当点于点B重合时，停止平移. 所以这是一个图形的平移运动 2、思考初始；找出初始位置时某些几何元素的数量和关系： （1）因为在中，，所以由勾股定理，得 （2）因为，CD是斜边上的中线，所以，，即. （3），. 第1问：“动”中取“静”：让图形和各个几何量都“静”下来。 因为是平移，所以，所以. 所以，所以， .同理：. 又因为，所以.所以 第2问：（1）是求变量之间的关系，则建立函数模型。 （2）按题目指定的运动路径运动一遍，重叠部分图形的形状不发生改变，则不需要分类讨论解决。 （3）找等量关系式：用面积割补法知道 （4）“动”中取“静”，求出相关的常量或者以含有自变量的代数式表示相关的几何量。 为便于求其面积，注意选择三角形的底和高。三角形BD1E的底为BD1，需求高。需求直角三角形C2OF的底和高。 我们视自变量为“不变量”，以为“向导”去求出三角形的底和高