浅谈排列组合学习方法指导.doc
排列与组合
一．数学思路方法
〔一〕化归思想
化归思想指的是变更转化的解题思想方法，即将条件或结论经过适当的转化，整个命题就可以变更为我们熟知的一些常见问题。
例1同室四人各写一张贺年片，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年片，那么四张贺年片不同的分配方式有多少种？
分析：建立数学模型转化为数学问题，用1，2，3，4这4个数字组成无重复的四位数，其中1不在个位，2不在十位，3不在百位，4不在千位的四位数共有多少个？那么这个问题就同意解决了。
解法一：个位只能放2，3，4三种。在放过数字2后，十位只能放1，3，4三种，后两位已确定。类似地，当个位放数字3时，百位只能放1，2，4，其余也已确定。
∴共有3×3=9〔种〕
解法二：记四人为甲，乙，丙，丁，那么甲送出的贺卡可以且只可以由乙，丙，丁三人之一收到，假设乙收到，那么有两种情形：
①甲收到乙送的卡片，那么只有一种情况发生，即丙收丁，丁收丙。
②甲收到的不是乙送的，而是收到丙的卡片，那么只能是丙收到乙的，丁收丙的，两种情况。
这就是说，甲送出的卡片被乙收到有三种情况。而甲送的卡片有三种收卡方式〔乙、丙、丁〕。
故共有3×3=9〔种〕
解法三：将四个数填入四个有序号的空格，共有种方法。其中不合要求的有三类：
①四个空填写的数字都与格号相同：
②恰有两个与填写的格号相同：
③恰有一个与填写的格号相同：
所以所有方法种数为
解法四：具体填出所有可能情况，即
2143?2341?2413?3142?3421?3412?4123?4312?4321一共9种。
点评：①此题虽然属基此题，但她的背景是“乱坐问题”或“错排问题”。②此题考查的不是根本知识、排列组合公式，而是较深刻地考查考生的逻辑思维能力。应努力设法去解决问题，而不是想着如何套用公式。③假设在考试中解题，解法四值得注意，采用列举法，醒目直观，简捷有效。
〔二〕对称思想
对称思想在数学中有广泛应用，挖掘数学问题中隐含的对称性，运用对称思想解题，往往得到出人意料的简捷的解法。
【例2】?A，B，C，D，E五人并排站成一排，假设B必须站在A的右边〔A，B可以相邻〕，那么不同排法共有多少种？
解法一：〔分类法〕
①A在左边第一位时，有种排法
②A在左边第二位时，有种排法
③A在左边第三位时，有种排法
④A在左边第四位时，有种排法
所以共有种排法。
解法二：〔对称法〕
不考虑限制，A，B，C，D，E五人并排站成一排共种排法，对限制条件可考虑对称性；B在A的右边与B在A的左边时机均等，便茅塞顿开，应得排法为
〔三〕分类思想
把一个复杂问题，通过正确划分，转化为假设干小问题予以各个击破，这是高考中考查的最重要的数学思想方法之一。
【例3】集合A和集合B各含12个元素，A∩B含有4个元素，试求同时满足下面两个条件的集合的个数。
〔1〕,且C中含有2个元素；
〔2〕〔表示空集〕
分析：此题与“集合A有12个元素，集合B有8个元素，且，求在集合中取3个元素，其中至少含有A的1个元素构成的集合C的个数”等价。
解∵n〔A∪B〕=n〔A〕+n〔B〕-n〔A∩B〕〔其中号n〔a〕表示集合a中含元素的个数〕。
∴n〔A∪B〕＝12+12-4＝20
满足题设条件的集合C的个数可划分三类：
第一类：A中取1个元素，中取2个元素有
第二类：A中取2个元素，中取1个元素有
第三类：A中取3个元素，中取0个元素有
∴满足题设的要求的集合C的个数为
++=1084〔个〕
〔四〕逆反思想
很多问题正面求解往往困难重重，但假设从反面思考，就会“柳暗花明”。
【例4】一个小组共有10名同学，其中4名女同学，6名男同学。要从小组内选出3名代表，其中至少有1名女同学，求一共有多少种选法？
解考虑其反面是“3名代表中没有女同学”，所以至少有1名女同学的选法有
〔种〕
〔五〕整体思想
把问题作为一个有机的整体，从整体上考察题中的数量关系和空间形式，对整体结构进行全面、深刻的分析和改造，以探求解题思路或优化和简化解题过程的思想方法。
【例5】3本不同的数学书与2本不同的语文书，排列在书架的一层上，使同类书不分开，有多少不同的排法？
解：因同类书不分开，故可视作2个整体有种排法，又同类书之间课任意排列故有种。
例66人站成一排，其中甲不能站在排头，乙不能站在排尾，有多少种不同的站法？
解法一：〔特殊元素法〕
第一类：甲先从中间四个位置选一个站好，有种站法，，因乙不站排尾，
∴乙可以从除排尾之处的4个位置选一个站好，共有种站法，其余四人任意排，有种，
∴共有种。
第二类：甲站排尾，此时，乙不再特殊，∴共有种站法。
由分类计数原理，共有+=504种
说明：此法是从特殊元素开始讨论故称特殊元素法。
解法二：〔特殊位置法〕
排头与排尾特殊，故可以从排头排尾入