2021年全国乙卷21题一题多解.doc

数形分析巧解题 ---2021年全国乙卷压轴题的探析与拓展 一、 试题呈现 （2021年全国乙卷·理科第21题）已知抛物线：（） 的焦点为，且与圆：上的点的最短距离为4. （1）求； （2）若点在上，为的切线，切点为， 求面积的最大值. 分析：该题形式上以抛物线中的阿基米德三角形为背景，结构虽简单、明了，但内涵丰富、综合性强、解法灵活，考查了抛物线和圆的简单几何性质，直线与抛物线的位置关系、三角形的面积等知识，考查了学生分析问题、解决问题的能力及转化与化归的数学思想，体现了逻辑推理、数学运算、直观想象等数学核心素养.第（1）问属于常规问题，答案是，第（2）问是一道求三角形面积最大值问题，内涵丰富，本文主要对该问予以探析与拓展： 二、 解法探究 解法1：由（1）得：，即. 设直线的方程为，，. 联立，得， 由，得，则， 于是===. 对求导得，则，于是直线的方程为，即，同理直线的方程为，联立两切线方程得，即，所以点到直线的距离=. 由题知，整理得=，则的面积===，又，即，易知当，即时，的面积取最大值为. 评注：该法属于常规解法，联立直线与曲线方程，运用韦达定理解题.首先设直线的方程为，接着用参数表示和点坐标，得到面积=，利用圆方程得到的关系式，代入消元得到关于的一次函数，求出最大值.另外，若记弦的中点为，通过解答容易得到，即垂直于轴，可得的面积为==.再者，由坐标形式的三角形面积公式，可得的面积为===，可省去求与的繁杂计算. 解法2：设，直线的方程为，，设过点与抛物线相切的直线方程为. 联立，得，则，即，于是为该方程的两根，所以，且切点，，则==，===，于是直线的方程为，即，所以点到直线的距离=. 由题知，整理得=，则的面积===，又，易知当，即时，的面积取最大值为. 评注：该法属于同构法，相较于常规的解法1，该法技巧性稍强.注意到两条切线的方程结构相同，故考虑同构方程解题，得到两切线斜率为方程的两根，再运用韦达定理解题.另外，在得到切点，后，若利用==，可省去求与的繁杂计算.再者，若想到利用圆的参数方程，设，则可省去借助圆方程消元的过程，简化过程，减少运算. 解法3：设，，. 同理解法1，得直线的方程分别为，，， 即，则== ==. 由为两直线交点，得，，注意到两点坐标满足同一方程，故直线方程为，所以点到直线的距离=. 下同解法2. 评注：该法也属于同构方程法，区别于解法2同构的元素为斜率，解法3同构的元素为坐标，利用“两点确定一条直线”的原理，得到直线方程为，两种不同的同构法，异曲同工. 解法4：设，直线， 则，即.① ，即.② 联立①②解得，将，代入得， 则，且，，∴. 过点作，交于点，则，， ∴. 由于点在圆上，∴， ∴. 由于，∴当时，∴. 评注：该法在分析面积变化过程中可知点事面积变化的动因，通过“水平宽、铅垂高”转为使得问题的求解得到简化. 解法5：因为. 设，则直线：， 即，有点到直线的距离为， 由得， 有， 所以. 因为，所以， 所以，即的面积的最大值为. 当点位于时，面积最大；当点位于时，面积最小. 评注：该法通过引进三角函数设参数方法，将直线的方程及面积的给表示出来，相比前几种方法更好地简化了运算量，这一类方法尤其是在研究直线与椭圆的位置关系中优势比较明显. 小结：由此可见，“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，关于解析几何中的轨迹与最值问题，始终要注意数形结合思想的应用，这样才能透过现象，捕捉本质. 三、 变式训练 变式1：已知抛物线：，为直线上一点，为的切线，切点为，求面积的最小值. 简解：设，的面积==，易知当，即时，的面积取最小值为. 变式2：已知抛物线：（）的焦点为，过点的动直线交于两点，分别过两点作的切线，两切线交于点，过点作轴的垂线交于点，求的值. 简解：设，直线的方程为，则，得，故点在准线上，由抛物线定义知，即=1. 变式3：已知抛物线：（），为准线上一点，为的切线，切点为，求面积的最小值. 简解：设，，，则，直线的方程为，则面积===，易知当，即时的面积取最小值为. 四、知识拓展 已知抛物线：（），上两不同点的坐标分别为，，以两点为切点的切线交于点，通过以上探究，我们不难得到阿基米德三角形的如下性质： （1）点坐标为，边上的中线与轴垂直. （2）直线的方程为，若弦过的焦点，则点在准线上，反之亦成立. （3）的面积为，若点在准线上，则面积的最小值为，此时点坐标为.