高等数学方向导数与梯度.ppt

9.8方向导数与梯度9.8.1方向导数定义9.5(方向导数)设二元函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)的某一邻域内有定义,l是以P0(x0,y0)为起点的射线,为其方向向量.如果极限存在,*则称此极限为函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)记为如果函数f(x,y)在区域D内任何一点(x,y)处沿方向或的方向导数都存在,注:方向导数是函数沿半直线方向的变化率.则为D内的一个函数,称为f(x,y)沿方向的方向导函数(简称方向导数).处沿方向的方向导数,*t一定为正!是函数在某点沿任何方向的变化率.方向导数偏导数分别是函数在某点沿平行于坐标轴的直线Δx、Δy可正可负！的变化率.当函数*的方向导数存在,的方向导数存在,同理,函数存在时,函数函数类似,可定义三元函数的方向导数*01040203它在空间一点定义为其中对于三元函数的方向导数,定理9.12*处可微,01则函数02且03其中04类似地,如果三元函数05处可微,06且07其中08注即为计算方向导数只需知道l的方向及函数的偏导数.在定点的方向导数为关系方向导数存在偏导数存在可微解1令2故3其方向余弦为4例设5处指向外侧的法向量,求函数6故例求函数*解并问在怎样的方向上此方向导数有最大值;(2)最小值;(3)等于零?问在怎样的方向上此方向导数有*方向导数达到最大值方向导数达到最小值方向导数等于0.和故(1)(1)最大值;(2)最小值;(3)等于零?030201练习*考虑函数定点P0(3,1),P1(2,3).解求函数在P0沿方向的方向导数.练习*求函数在点处沿解切线方向的方向向量在此点的切线方向上曲线的方向导数.练习*01解02此方向的方向向量为9.8.2梯度的概念*方向导数最大或最小?问题:函数沿什么方向的方向导数为方向导数取最大值方向导数取最小值其中而方向一致时,方向相反时,定义9.6记作即处的梯度,则梯度又可记为为函数称向量引用记号称为奈布拉算子,或称为向量微分算子或哈密尔顿算子,*结论:函数在某点的梯度是这样一个向量,它的方向与取得最大方向导数的方向一致,而它的模为方向导数的最大值.梯度的模为沿着方向,函数减少得最快.方向：模：f变化率最大的方向f的最大变化率之值在几何上*被平面所得曲线在xOy面上投影是一条平面曲线称为曲面的等高线表示一个曲面,所截得等高线两端微分,得由于等高线*等高线所以梯度为等高线上点P处的法向量.法线的斜率为:上任一点