数学建模第一篇第一章解析.doc

第一篇 线性规划模型及应用 第一章 线性规划问题的数学模型及其解的性质 §1-1-1线性规划问题的数学模型 引例：某工厂生产某种型号的机床，每台机床上需要2.9米、2.1米和1.5米长的三种轴各一根，这些轴需要用同一种圆钢制作，圆钢的长度为7.4米。如果要生产100台机床，应如何下料，才能使得用料最省？ 分析：对于每一根长为7.4米的圆钢，截成2.9米、2.1米和1.5米长的毛坯，可以有若干种下料方式，把它截成我们需要的长度，有以下8种下料方式(表1-1-1)： 表1-1-1 下料方式及每种方式毛坯的数目 下料方式 长度 需要量 2.9米 2 1 1 1 0 0 0 0 100 2.1米 0 2 1 0 3 2 1 0 100 1.5米 1 0 1 3 0 2 3 4 100 余料 0.1 0.3 0.9 0 1.1 0.2 0.8 1.4 下料方式是从大到小、从长到短的顺序考虑的。 1.假若考虑只用方式下料，需要用料100根； 2.若采用木工师傅的下料方法：先下最长的、再下次长的、最后下短的(见表1-1-2)： 表1-1-2 木工师傅的下料情况的用料表 下料方式 下料根数 2.9米根数 2.1米根数 1.5米根数 50 100 0 50 33 0 99 0 12 0 0 48 1 0 2 2 合计 96 100 101 100 动一下脑筋，就可以节约用料4根，降低成本。但这仍然不是最好的下料方法。 3.如果要我们安排下料，暂不排除8种下料方式中的任何一种，通过建立数学模型（线性规划数学模型）进行求解，寻找最好的下料方案。 设用,,,,,,,方式下料的根数分别为，则可以建立线性规划数学模型: 用LINGO10.0软件求解，程序如下： Min=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8; 2*x1+x2+x3+x4=100; 2*x2+x3+3*x5+2*x6+x7=100; x1+x3+3*x4+2*x6+3*x7+4*x8=100; 根据输出结果，得：(最优解不唯一)；或。这就是最优的下料方案。 下料问题是在经济管理中经常遇到的问题，引例是条材下料问题、还有板材下料问题（如五金厂生产保险柜、服装厂下料等）或者更复杂的下料问题。请考虑一下，下料方式能不能用计算机来设计？本问题能不能将目标函数确定为余料最少？这都是值得读者思考的问题。 在生产管理和经营活动中，经常考虑这样一类问题：如何合理地利用有限的人力、物力和财力等资源，以便得到最好的经济效果。下面分四个方面介绍典型的建立线性规划模型的方法。 一、合理下料问题 例1 某工厂生产某种型号的机床，每台机床上需要2.9米、2.1米和1.5米长的三种轴分别为1根、2根、1根，这些轴需要用同一种圆钢制作，圆钢的长度为7.4米。如果要生产100台机床，应如何下料，才能使得用料最省？ 关于下料方式的分析如引例，下料方式见表1-1-1，该问题的数学模型为： 设用,,,,,,,方式下料的根数分别为，则: 可以用LINGO10.0求解，得x1=20,x2=60,x3=0,x4=0,x5=0,x6=40,x7=0,x8=0;minS=120。 注：本题的最优解不唯一。 一般下料问题：设用某种材料（条材或板材）下零件的毛坯，根据过去的经验，在一件原料上有种不同的下料方式，每种合理的下料方式可得各种毛坯个数及每种零件的需要量如表1-1-3。问：应怎样安排下料方式，既能满足需要，又使得用料最省？ 表1-1-3 一般下料问题的基本数据 下料方式 零件规格 … 零件需要量 … … … … … … … … … 设用方式下料的数量为，则建立线性规划问题数学模型： 或者 建立线性规划问题数学模型的基本要素： ①决策变量 明确问题中有待确定的未知变量（称为决策变量），并用数学符号表示； ②约束条件 明确问题中所有的限制条件（约束条件）并且用决策变量的一些表达式（线性等式或线性不等式）来表示； ③目标函数 明确解决问题要达到的目标，并用决策变量的线性函数（称为目标函数）表示，按问题的要求，求其最大值或最小值。 通常把决策变量、约束条件和目标函数称为线性规划数学模型的三个基本要素。 从我们所建立的数学模型来看，目标函数是决策变量的线性函数、约束条件是决策变量的线性等式或不等式，因此我们称此为线性规划（Linear Programming，简记为LP）模型。 二、资源合理利用（资源的最优配置）问题 例2 某工厂要安排一种产品的生产，该产品有Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三种型号，生产这种产品均需要两种主要资源：原材料和劳动力。每