计算机控制系统（第2版）.ppt

李亚普洛夫意义下的稳定性对平衡状态xe，初始状态x0，若对任意规定ε，在t→∞过程中，满足：均存在一个闭球域S(δ)与之对应，则平衡点xe是在李雅普洛夫意义下是稳定的。δ与ε有关，通常也与t0有关。如果δ与t0无关，则为一致稳定。渐近稳定性设平衡点xe是在李雅普洛夫意义下是稳定的，同时满足则称该平衡状态是渐近稳定的。大范围（全局）渐近稳定性当初始条件扩展至整个状态空间，平衡状态均具有渐近稳定性，称为大范围（全局）渐近稳定。对线性系统，如果是渐近稳定的，则必定是大范围渐近稳定的。非线性系统的稳定性往往与初始条件有关。不稳定性如果对于某个实数ε0和任一实数δ0，不管其多么小，在S(δ)内总存在一个状态x0，使得由该状态出发的轨迹超出S(ε)，则平衡状态xe称为是不稳定的。2.线性定常连续系统渐近稳定判据利用状态方程的解的特性来判断系统稳定性，即第一法。定理1对线性定常系统有：系统的每一平衡状态是在李亚普洛夫意义下稳定的充要条件为：A的所有特征值均具有非正实部，且具有零实部的特征值为单根；系统的唯一平衡状态xe=0是渐近稳定的充要条件为：A的所有特征值均具有负实部。第二法又称直接法，引入一个能量函数（即李亚普洛夫函数），利用该函数及其导数函数的符号特征直接对平衡状态的稳定性做出判断。能量函数总大于零；对稳定系统，能量函数具有衰减特性，即能量函数的导数应小于零。定理2对线性定常系统其渐近稳定的充要条件为：存在一个正定对称矩阵P，使得由ATP+PA=－Q所确定矩阵Q为正定矩阵。其中，xTPx即为系统的一个Liyapunov函数。定理3对上述线性定常系统，其渐近稳定的充要条件为：对于任意给定的正定矩阵Q，存在唯一的正定对称矩阵P，使ATP+PA=－Q成立。3.线性定常离散系统渐近稳定判据定理4对于线性定常离散时间系统(1)系统每一平衡状态在李亚普洛夫意义下稳定的充分必要条件为：矩阵A的全部特征值的幅值均等于或小于1，且幅值等于1的那些特征值是矩阵A的特征方程的单根。(2)系统唯一平衡状态渐近稳定的充分必要条件为：矩阵A的全部特征值的幅值均小于1。例7.5试确定下列离散系统的稳定性解由系统方程可知矩阵A的特征方程为由此解得矩阵A的特征值为显然，故系统在原点的平衡状态是大范围渐近稳定的。定理5对上述线性定常离散系统，其渐近稳定的充要条件为：对于任意给定的正定矩阵Q，存在唯一的正定对称矩阵P，使ΦTPΦ－P=－Q成立。例7.7试确定下列离散系统平衡状态的稳定性解取Q＝I，设由离散系统的李亚普洛夫矩阵方程，有由此可解得可知P是正定对称矩阵，故系统平衡状态是渐近稳定。设离散系统1.可控性 对以上离散系统，如能找到一个控制序列u(k)，使得在有限时间NT内能从任意初始状态x(0)，到达任意指定的期望状态x(N)，则称该系统是状态完全可控的。四、可控性与可观性由递推解式可得欲使上式有解，应有N≥n，通常取N＝n，记则应满足或这就是系统状态完全可控的充分必要条件。例7.9某离散系统状态方程为试分析系统的可控性。解由系统状态方程可知，n＝2，故系统状态完全可控。2.输出可观性 对以上离散系统，如果可以找到控制序列u(k)，能够在有限时间NT内驱动系统从任意初始输出值y(0)，转移到任意指定的期望输出值y(N)，则称该系统是输出完全可控的。输出可观性充要条件如果D＝0，当且仅当矩阵C的q个行向量线性无关时，状态完全可控意味着系统输出完全可控；当D不为零时，则D的存在总是有助于确定输出完全可控性，即可能存在输出完全可控而状态未必可控的情况。例7.12设离散系统的状态空间描述为试分析该系统状态可控性与输出可控性。解由系统