《第五届“锐丰杯”初中数学邀请赛试题》.doc

座位号 学校　　　　　　 　　　　　准考证号　　　　　 　 　　　　　姓名 座位号 学校　　　　　　 　　　　　准考证号　　　　　 　 　　　　　姓名 　　……………..………….密………………..…………….封……………………………..线…………… ………. (满分150分) 选择题（本大题共6小题，每小题6分，共36分，每题有且只有一个答案） 1．化简得（ ） A B C D 2．如图，已知是正方形内一点，是等边三角形， 若的外接圆半径为，则正方形边长为（ ） A． B． C． D． 3．函数的图像和轴有交点，则 A． B． C．且 D． 且 4．对于一个正整数，若能找到正整数使得，则称为一个“好数”，例如： ，则3就是一个“好数”，那么从1到20这20个正整数中“好数”有( )． A 8个 B 10个 C 12个 D 13个 5．凸四边形ABCD的四个顶点满足：每一个顶点到其他三个顶点距离之积都相等。则四边形ABCD 一定是（ ） A 正方形 B 菱形 C 等腰梯形 D 矩形 A A B C D A1 C1 B1 D1 6. 如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，BC＝2，BB1＝1，一蚂蚁从A点出发，沿长方体表面爬到C1 （A） （B） （C） （D） 填空题（本大题共6小题，每小题9分，共54分 7．.已知直线与抛物线相交于A、B两点，O为坐标原点，那么△OAB的面积 等于__ . 8. 如图，正六边形中，是上一点，直线与射线 相交于，当面积与正六边形面积相等时， 9. 已知三个非负实数满足：和，若，则m的最小值为 10．满足方程的的取值范围是 11．小明是一位刻苦学习、勤于思考、勇于创新的同学，一天他在解方程时，突发奇想：在实数范围内无解，如果存在一个数，使，那么若,则，从而是方程的两个根。据此可知：①可以运算，例如：，则 ，②方程的两根为 （根用表示） 注：①问空3分，②问空6分 12．已知对任意正整数都有，则 三、解答题(本大题共3小题，每小题20分，共60分) 13．规定符号表示不超过的最大整数，例， 求：方程大于的的解 14．如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C， D为OC的中点，直线AD交抛物线于点E（2，6），且△ABE与△ABC的面积之比为3∶2． （1）求这条抛物线对应的函数关系式； （2）连结BD，试判断BD与AD的位置关系，并说明理由； （3）连结BC交直线AD于点M，在直线AD上，是否存在这样的点N（不与点M重合），使得以A、B、N为顶点的三角形与△ABM相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． A A B C D E M 15. 如图（1）至图（3），C为定线段AB外一动点，以AC、BC为边分别向外侧作正方形CADF和正方形CBEG，分别作、，垂足分别为、．当C的位置在直线AB的同侧变化过程中， （1）如图（1），当∠ACB＝90°，AC=4，BC=3时，求的值； （2）求证：不论C的位置在直线AB的同侧怎样变化，的值为定值； 图（1）图（2） 图（1） 图（2） 图（3）