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北京市朝阳区高三统一练习二 数学理科答案 2009.5 一、选择题: 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B D A C D A D A 二、填空题: (9) ; (10) 2; (11) ; (12) 16,; (13) 15; (14) . 三、解答题: (15) 解: （Ⅰ）因为 因为函数的最小正周期为,且,故. ………………………6分 (Ⅱ)由（Ⅰ）可知，. 由得，, 所以. 又因为,所以, 所以,即. 又因为,且，所以. 由余弦定理得. 解得（舍负），所以. ………………………13分 (16) 证明：（Ⅰ）因为底面， 所以是与平面所成的角. 由已知， 所以. 易求得，，又因为， 所以， 所以. 因为底面，平面, 所以. 由于， 所以平面. ………………………4分 解：（Ⅱ） 由（Ⅰ）知，平面.又因为平面, 所以平面平面， 过作于，（如图）则平面， 所以线段的长度为点到平面的距离. 在中，易求得, 所以. 所以点到平面的距离为. ………………………9分 （Ⅲ）设为中点. 连结，由于底面， 且平面，则平面平面. 因为，所以平面. 过作，垂足为，连结， 由三垂线定理可知， 所以是二面角的平面角. 容易证明∽，则， 因为，，， 所以. 在中，因为，所以， 所以二面角的大小为. ………………………14分 解法二: 因为底面， 所以是与平面所成的角. 由已知， 所以. 建立空间直角坐标系（如图）. 由已知，为中点. 于是、、、 、. （Ⅰ）易求得， ， . 因为, , 所以，. 因为，所以平面. ………………………4分 （Ⅱ）设平面的法向量为， 由 得 解得， 所以. 又因为, 所以点到平面的距离. ………………………9分 （Ⅲ）因为平面，所以是平面的法向量， 易得. 由（Ⅱ）知平面的法向量， 所以. 所以二面角的大小为. ………………………14分 (17) 解：（Ⅰ）设“从袋中任取1个球是红球”为事件A，则． 所以，． 答：三次取球中恰有2个红球的概率为． ………………4分 （Ⅱ）设“从袋里任意取出2个球，球的颜色相同”为事件B，则 整理得：，解得n=3（舍）或n=4． 所以，红球的个数为3个． ………………………8分 （Ⅲ）的取值为2，3，4，5，6，且 所以的分布列为 2 3 4 5 6 P 所以， ………………………13分 (18) 解：（Ⅰ）双曲线的右准线为，渐近线为. 因为右准线与一条渐近线的交点坐标为， 所以解得． 于是，双曲线的方程为． ………………………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知点的坐标分别为，右准线为． 当直线斜率不存在时，点的坐标分别为， 则直线方程分别为， 令，得的坐标分别为， 此时． 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 由得． 因为直线与双曲线交于两点， 所以，，解得． 设两点坐标分别为， 则，． 则直线方程分别为， 令，得的坐标分别为， 所以 　　　　　　 ． 所以，为定值． ………………………13分 (19) 解：(Ⅰ)因为点在直线（为与无关的正实数）上， 所以，即有． 当时，． 由，解得，所以． 当 ① ② ①－②，得 ，整理得． 综上所述，知 ，因此是等比数列． …………………5分 (Ⅱ) 由(Ⅰ) 知，从而， 所以． 因此，是等差数列，并且． 所以， ． ………………………10分 (Ⅲ) 由(Ⅱ)知，则． 将用二项式定理展开，共有项，其第项为 ， 同理，用二项式定理展开，共有项，第项为，其前项中的第项为， 由， 得又， ∴ ． ………………………13分 (20) (Ⅰ)解：因为，令，解得， 令，解得， 所以函数在上递减，上递增， 所以的最小值为． ………………………3分 (Ⅱ)证明：