(奥校)正余弦定理和解三角形.doc

PAGE  PAGE 13 正余弦定理和解三角形 一、知识要点 1、引理 三角形面积公式： 2、正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于该三角形外接圆的直径，即。 3、正弦定理有如下的变形公式： （1）； （2）； （3） 4、余弦定理：在△ABC中，有 c2 = a2+b2－2bccosC，b2 = a2+c2－2accosB，a2 = b2+c2－2bccosA． 变形公式： 5、在三角形中，我们把三条边（a,b,c）和三个内角（A，B，C）称为六个基本元素，只要已知其中的三个元素（至少一个是边），便可以求出其余的三个元素（可能有两解、一解、无解），这个过程叫做解三角形。正余弦定理的主要作用是解斜三角形。 6、三角形中的各种关系 设△ABC的三边为a、b、c，对应的三个角为A、B、C． 1．角与角关系：A+B+C = π， 2．边与边关系：a + b c，b + c a，c + a b， a－b c，b－c a，c－a b． 3．边与角关系： 1）正弦定理 2）余弦定理及它们的变形形式 4．三角形内角定理的变形 由A＋B＋C＝π，知A＝π－（B＋C）可得出： sinA＝sin（B＋C），cosA＝－cos（B＋C）． 而．有：，． 7、解斜三角形的常规思维方法是： （1）已知两角和一边（如A、B、C），由A+B+C = π求C，由正弦定理求a、b． （2）已知两边和夹角（如a、b、c），应用余弦定理求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C = π，求另一角． （3）已知两边和其中一边的对角（如a、b、A），应用正弦定理求B，由A+B+C = π求C，再由正弦定理或余弦定理求c边，要注意解可能有多种情况． （4）已知三边a、b、c，应余弦定理求A、B，再由A+B+C = π，求角C． 二、典型例题 例1、在△ABC中，已知，，B=45? 求A、C及c. 变式1、 变式2、 在 例2、在中，AB=2，AC=1，AD为BC边上的中线，，求BC。 变式3、已知△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，且AB=1，BC=4，则边AC上的中线BD的长为 。 变式4、在△ABC中，已知角B＝45°，D是BC边上一点，AD＝5，AC＝7，DC＝3，求AB 例3、在△ABC中已知a＝2bcosC，求证：△ABC为等腰三角形 变式5、在中，若下列等式成立，分别判断的形状： （1）acosA=bcosB （2）sinC=2cosAsinB （3） 例4、在△ABC中，AB＝5，AC＝3，D为BC中点，且AD＝4，求BC边长。 变式6、已知圆内接四边形ABCD的边长AB=2，BC=6，CD=DA=4.求四边形ABCD的面积. 例5、如图，平面上有四个点A、B、P、Q，A、B为定点，且AB=，P、Q为动点满足关系AP=PQ=QB=1，又△APB和△PQB的面积分别为S、T。 （1）求S2+T2的取值范围； （2）当S2+T2取得最大值时，判断△APB的形状。 A Q P B S T θ 变式7、如图所示，已知半圆的直径AB＝2，点C在AB的延长线上，BC＝1，点P为半圆上的一个动点，以DC为边作等边△PCD，且点D与圆心O分别在PC的两侧，求四边形OPDC面积的最大值。 O P 东 北 在某海滨城市附近有一台风，据监测，当台风位于城市Ｏ（如图）的东偏南方向的海面处，并以的速度向西偏北方向移动。台风侵袭范围为圆形区域，当前半径为，并以的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？并会持续多长时间？ 变式8、据气象台预报，距S岛300 ｋｍ的A处有一台风中心形成，并以每小时30　ｋｍ的速度向北偏西30°的方向移动，在距台风中心270 ｋｍ以内的地区将受到台风的影响。 问：S岛是否受其影响?若受到影响，从现在起经过多少小时S岛开始受到台风的影响?持续时间多久?说明理由. 例7、化工厂的主控制表盘高1米，表盘底边距地面2米，问值班人员坐在什么位置上表盘看得最清楚？（设值班人员坐在椅子上时，眼睛距地面1.2米）. D C B A 1.2 m 2 m 1 m 三、巩固练习 （A基础夯实） 1、中，A、B的对边分别是，且，那么满足条件的 A、 有一个解 B、有两个解 C、无解 D、不能确定 （ ） 2、已知的面积为，则角C的度数为（ ） A、1350 B、1200 C、600 D、450 3、在中