2024年上海交通大学数学强基笔试真题高清版含答案或解析.docx

2024年上海交通大学数学强基笔试真题高清版含答案或解析

一、选择题（每题10分，共40分）

1.设函数f(x)=e^x2x，则f(x)在区间(0,+∞)上的单调性是（）

A.单调递增

B.单调递减

C.先增后减

D.先减后增

答案：A

解析：f(x)=e^x2，当x0时，f(x)0，因此f(x)在区间(0,+∞)上单调递增。

2.设a,b为实数，且a≠b，以下哪个结论是正确的（）

A.若a^2=b^2，则a=b

B.若a^3=b^3，则a=b

C.若a^2+b^2=2，则a+b=2

D.若a^2b^2=1，则ab=1

答案：B

解析：由a^3b^3=(ab)(a^2+ab+b^2)=0，因为a≠b，所以a^2+ab+b^2≠0，故ab=0，即a=b。

3.设函数f(x)=x^36x+9，求f(x)的极值点及极值。

A.极大值点x=2，极大值f(2)=5；极小值点x=2，极小值f(2)=5

B.极大值点x=2，极大值f(2)=5；极小值点x=3，极小值f(3)=0

C.极大值点x=3，极大值f(3)=0；极小值点x=3，极小值f(3)=0

D.极大值点x=3，极大值f(3)=0；极小值点x=2，极小值f(2)=5

答案：A

解析：f(x)=3x^26，令f(x)=0，得x=±2。f(x)=6x，f(2)0，故x=2为极小值点，f(2)=5；f(2)0，故x=2为极大值点，f(2)=5。

4.设矩阵A=[[1,2],[3,4]]，求矩阵A的特征值。

A.λ1=1，λ2=2

B.λ1=3，λ2=4

C.λ1=5，λ2=1

D.λ1=0，λ2=8

答案：C

解析：特征方程为|AλI|=0，即：

[[1λ,2],[3,4λ]]=(1λ)(4λ)6=λ^25λ+2=0，

解得λ1=5，λ2=1。

二、填空题（每题10分，共30分）

1.设函数f(x)=x^2+2x+1，求f(x)的单调递增区间是________。

答案：(∞,1)∪(1,+∞)

2.设数列{an}满足a1=1，an+1=an+2，求该数列的通项公式是________。

答案：an=2n1

3.已知矩阵A=[[1,2],[3,4]]，求矩阵A的逆矩阵A^1=________。

答案：A^1=[[4,2],[3,1]]

三、解答题（共30分）

1.（15分）设函数f(x)=x^33x^2+4x+1，求f(x)的单调性及极值。

答案：

f(x)=3x^26x+4，令f(x)=0，得x=1或x=2/3。

f(x)=6x6，f(1)0，故x=1为极大值点，f(1)=3；f(2/3)0，故x=2/3为极小值点，f(2/3)=11/27。

f(x)在区间(∞,2/3)上单调递增，在区间(2/3,1)上单调递减，在区间(1,+∞)上单调递增。

2.（15分）设矩阵A=[[2,1],[1,2]]，求矩阵A的特征值和特征向量。

答案：

特征方程为|AλI|=0，即：

[[2λ,1],[1,2λ]]=λ^24λ+3=0，

解得λ1=1，λ2=3。

对于λ1=1，特征向量k1=[1,1]；对于λ2=3，特征向量k2=[1,1]。