风险非同质时索赔次数的分布拟合及其EM算法.pdf

维普资讯 2009年 l2月 应用数学与计算数学学报 第 H 卷 第 2期 Dec．．2Oo0 CoMM ．oN APPL．M ATH AND CoMPUT Vo1．14 NO．2 风险非 同质时索赔次数 的分布拟合及其 EM算法 王黎 明 雷怡林 (华东师范大学统计系．上海． 200062) 摘要 本文运用 EM 算法，对于风险非 同质时索赔扶数的分布，分别给 出了离散型 多元风险模型．混合两伽玛模型参数 的极大似然估计的迭代公式．并将其应用到 个实 际 问题中去，效果较好． 索赔扶数．混台分布。矩法估计，极大似然估计， EM 算法． 1．引 言 假设保单持有人的风险状况 的A值 的分布是离散型的，它可分为 m 种不 同的风 险 (A1，A2，… ，A )，设投保人具有第 种风险的概率为pi，i=1，2，… ，m ，而其索赔次 数 服从参数为 ，=1，2，… ，m 的普哇松分布，显然 ∑Pi=1．则混合后的分布为 t = 只 争 ，Iu，1 t： 1 A的分布是连续型时，设 A的分布是积参数伽玛分布，其数分别为 (a， )，i= 1，2，--，m，A，可能服从参数为 (a，屈)的伽玛分布的概率分别为Pi，∑Pi：1．这样索赔 t 次数 的分部是 m 个负二项分布的混合，其概率函数 为 ： 时 )()()，…， 关于以上 混合 分布 中的参数估计 问题，在 m 已知的情 况下，其矩法估计可 以得 到，但是，关于以上混合分布参数的极大似然估计，直接求 比较困难，本文利用 EM算 法，给 出以上混合分布 的极大似然估计． EM算法是一种迭代方法，最初由Dempster (1977年 )提 出的，在数据有缺省或模型中有多余参数时，利用 EM 算法进行参数估 计可 以取得 比较好 的效果．本文利用 EM 算法求后验分布的众数 (即极大似然估计) 2．A的分布是离散型的 EM 算法 风险A为离散型的混合分布的模型时，直接求极大似然估计较困难．我们用 EM 算 法给 出多元风险模 型 的极 大似 然估 计的迭代公式，记 = (A，Az，一，A )， = 本文 1999年 月 1日收到． ’国家 自然科学基金资助项 目 维普资讯 应用数学与计算数学学报 (Pl，P2．… ，Pm-1)，则样本的对数极大似然函数为 L(K，^，) +(+暮) ) 记 日= (^，)， 等e、 ’ m ． ∑ ^=Pl·，l+ ∑p)，m 一l，2，…，n． n S = + 对 ^服从多项分布，我们设示性变量 L(^= )=1表示 ^为 ，否则为 0．现在我 e 们坐不知第 i次观察 的 ^到底等于多少，因此 ^(^= )是未观察到 的变量．此时，地 一 ^ 和 五(^=^)的联合分布为 g(墨，厶(^：^)，日)= lI1；】( -)-2f2】(