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《高等数学Ⅰ》答疑题 1． 原式= 因为== == 所以 极限= 2．求 原式= = == 极限= 3.求 原式= = = = ==- 4．求 原式== == 5．求函数 解：（1）显然有, , （2）当时，有 所以， （3）当时， 有 所以， 从而， 6．设存在，，求 解：令，则， 故 7．求函数的不连续点且判别类型。 解：显然x=0为间断点。因为 又，故x=0为第一类间断点（跳跃间断点）。 8．已知在x=a处可导，且n为自然数，求 解： 因为 所以， 9．设，求 解： 于是， 10．设，求 解： ， 11.．设，其中的三阶导数存在，且，求 解： 12.．设方程求 解： 13．设有方程求 解：方程两边对x求导，可得 14．设由方程确定y是x的函数，求 解：，两边同时x对求导，得 15.设任意阶可导，且求 解： 所以， 16．设，求 解： 17．设求 解： 显然，当时， 故 18.求 原式=== 19．求 原式==-=+ 20. 求不定积分 解：原式 21．求不定积分 解：原式 22．求不定积分 解：令，则，于是 原式 23．求不定积分 解： 故 24. 设的原函数为，求解不定积分 解： 因为的原函数为，故 于是，， 故 25．设在上连续且满足，求 解：将方程的两边对x求导，得 ，即 令 26．设当时可导，且满足方程求 解：将方程两边对x求导，得 将原方程的表达式代入上式，得 积分，得由原方程中令可得，从而C＝1 故 27．设是连续函数，且，求 解：因为连续，所以存在，不妨设，于是 积分有， 故 28．设函数在区间[0,1]上连续，并设,求 解： 注意：为的一个原函数。 29．设在上连续，且对任何x,y有，计算 解：对于这种被积函数含有抽象因子的积分，通常是利用奇偶性积分的“特性”处理，以下证明为奇函数。 令y=0，则由可得： 又，，即，可知为奇函数，于是 30．设，g(x)区间上连续，g(x)为偶函数，且满足条件 （1）证明： （2）利用（1）的结论计算定积分 解：（1）证明： （2）取，，，则，在上连续为偶函数。因为，所以， 令，得于是，， 故 31．设函数满足，且求 解：由，，得，于是有 ，解方程得，又， 32。设在上有连续的导函数，且试证 证明：，于是由柯西不等式 故 33。讨论的敛散性。 解： 对，因为当时，所以当时，瑕积分收敛；时，发散 对，因为当时，所以当时，瑕积分收敛；时，发散 综上所述，瑕积分当，时收敛，其余情形发散。 34．已知在上连续，在内存在，又连接两点的直线交曲线于，且，试证在内至少存在一个使得 证明：由题意，可对在， 上分别利用拉格朗日中值定理，于是有 在同一直线上， 故因而，在上满足洛尔定理。 于是，存在一个使得 35．若在上三阶导数，且，设，试证在内至少存在一个，使得 证明：用台劳公式证写出在x=0处的二阶台劳展开式为 （*） , ,于是（*） (**) 注意到 由（**）有 1